Question

【题目】设函数f（x）=xex﹣ax2（a∈R）．
（1）若函数g（x）= 是奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点． ①求k与b的值；
②对（0，+∞）上的任意实数x1 ， x2 ， 都有[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数g（x）= 是奇函数，∴ 恒成立，

即 =﹣ ，∴ax2（e﹣x+ex）=0恒成立，

∴a=0．

（2）①f′（x）=ex（x+1）﹣2ax，设切点为（x0，y0），

则切线的斜率为f′（x0）=e （x0+1）﹣2ax0，

据题意f′（x0）是与a无关的常数，故x0=0，k=f′（0）=1，

∵f（0）=0，∴切点为（0，0），

∴切线的方程为h（x）=x，故k=1，b=0．

②∵对（0，+∞）上的任意实数x1，x2，[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0恒成立，

∴f（x）﹣h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，或f（x）﹣h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．

f（x）﹣h（x）=x（ex﹣ax﹣1），

设p（x）=ex﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．

则p（x）＞0＞0在（0，+∞）上恒成立，或p（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．

p′（x）=ex﹣a，

当a≤1时，∵x∈（0，+∞），∴ex＞1，∴p′（x）＞0恒成立，

∴p（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴p（x）＞p（0）=0，符合题意．

当a＞1时，令p′（x）=0得x=lna，

∴当0＜x＜lna时，p′（x）＜0，当x＞lna时，p′（x）＞0，

∴p（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

∴p（lna）＜p（0）=0，

而p（a）=ea﹣a2﹣1，（a＞1），

令φ（a）=ea﹣a2﹣1，则φ′（a）=ea﹣2a，φ″（a）=ea﹣2＞e﹣2＞0，

∴φ′（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ′（a）＞φ′（1）=e﹣2＞0，

∴φ（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0，

即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合题意．

综上，实数a的取值范围（﹣∞，1]．

【解析】（1）根据奇函数的定义得出恒等式，从而得出a的值；（2）①由f′（x）与a无关即可得出切点横坐标，再计算切点坐标得出切线方程，从而得出k，b的值；②由题意可知f（x）﹣h（x）在（0，+∞）上恒正或恒负，化简可得p（x）=ex﹣ax﹣1在（0，+∞）上恒正或恒负，讨论a的范围，计算p（a）的最值进行判断．