Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为

2

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）经过定点F（0，1）的两直线l₁，l₂与椭圆分别交于P、Q、M、N，且l₁⊥l₂，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意，椭圆的焦点在y轴上，利用椭圆的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为

2

，建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分斜率组存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，即可求得结论．

解答：解：（I）由题意，椭圆的焦点在y轴上，

b=1 2b2 a = 2

，∴

b=1 a= 2 c=1

，∴椭圆方程为

y2

2

+x2=1…（4分）
（2）（ⅰ）若l₁与l₂中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则S=

1

2

•2a•

2b2

a

=2…（5分）
（ⅱ）若l₁与l₂得斜率均存在，设l₁：y=kx+1与椭圆方程联立

y=kx+1 2x2+y2=2

消去y可得（2+k²）x+2kx-1=0，则△=8（k²+1＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2k

2+k2

，x₁x₂=

-1

2+k2

∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

×

k2+1

k2+2

同理可得|MN|=2

2

×

k2+1

2k2+1

…（8分）
∴S=

1

2

|PQ||MN|=4

k4+2k2+1

2k4+5k2+2

=

4

2+ k2 k4+2k2+1

=

4

2+ 1 k2+ 1 k2 +2

由k2+

1

k2

≥2，得

16

9

≤S＜2…（10分）
由（ⅰ）（ⅱ）知，Smin=

16

9

，Smax=2…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示四边形PMQN的面积是关键．