Question

已知F₁（0，-5），F₂（0，5），一双曲线上任意一点M满足||MF₁|-|MF₂||=8，则该双曲线的一条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意求出双曲线的渐近线方程，利用定积分求双曲线的一条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积，先由题设条件求出参数a，b，c，再求渐近线
解答：解：由题意知，c=5，a=4，故b=3，由此知此双曲线的渐近线方程为y=±x，不妨研究y=x与曲线y=x²围成的封闭图形的面积
y=x与曲线y=x²的两个交点的坐标分别为（0，0），（，）
故此条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为 =（x²-x³）=×-×=，
该双曲线的一条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为
故答案为：．
点评：本题考查圆锥曲线的综合，求解本题的关键是求出双曲线的渐近线方程，再注意到积分在求面积中的作用，用定积分求出面积．此题涉及的知识较多，综合性较强，用到了转化的思想，解题中根据题设条件与要解决的问题灵活转化，可以大大降低解题的难度．