Question

【题目】如图，在高为的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使.

(1)证明：平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，把证明平面的问题转化为证明，即可；（2）求出平面的法向量为和平面的一个法向量为，把求二面角的余弦值的问题转化为求与的夹角的余弦值的问题即可.

(1)证明：由题设知，，两两垂直，所以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设的长为，

则，，，

，，).

因为点为的中点，所以，

所以，，.

因为，，

所以，，又与不共线，

所以平面.

(2)解　因为，，所以，

则，所以，.

设平面的法向量为，

由得

令，则，，.

易得平面的一个法向量为.

设二面角的大小为，由图可知，为锐角，

则，

即二面角的余弦值为.