Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，.

（1）求证：；

（2）点E在棱PC上，满足，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基础知识，同时考查分析问题解决问题的能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，利用线面垂直“PA⊥底面ABCD”的性质可得PA⊥CD，而PC⊥CD，则利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，所以CD垂直于面PAC内的线；第二问，根据已知条件得到AB、AC、AP两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相应点和相应向量的坐标，利用夹角的余弦公式解出，再求的值.

试题解析：（Ⅰ）证明：

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

因为∠PCD＝90，所以PC⊥CD，

所以CD⊥平面PAC，

所以CD⊥AC． 4分

（Ⅱ）

因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．

如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．

设，则，

又∠DAE＝60°，则，

即，解得． 8分

则，，

所以.

因为，所以．又，

故二面角B-AE-D的余弦值为． 12分

考点：线线垂直、线面垂直、二面角、向量法.