已知函数其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(III)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值。
【考点定位】本小题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、函数的零点,函数的最值等基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.
(I)单调递增区间是,;单调递减区间是 (2)
(3)
【解析】(I)解:
由,得
当x变化时,,的变化情况如下表:
x |
-1 |
a |
|||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
极大值 |
极小值 |
故函数的单调递增区间是,;单调递减区间是.
(II)解:由(I)知在区间内单调递增,在内单调递减,从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当,解得.
所以,a的取值范围是.
(III)解:a=1时,.由(I)知在区间内单调递增,在内单调递减,在上单调递增.
(1)当时,,,在上单调递增,在上单调递减.因此,在上的最大值,而最小值为与中的较小者.由知,当时,,故,所以.而在上单调递增,因此.所以在上的最小值为.
(2)当时,,且.
下面比较的大小由在,上单调递增,
有
又由,,
从而,
所以 综上,函数在区间上的最小值为
科目:高中数学 来源:2015届福建省高一上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分14分)已知函数其中a>0,且a≠1,
(1)求函数的定义域;
(2)当0<a<1时,解关于x的不等式;
(3)当a>1,且x∈[0,1)时,总有恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东东莞第七高级中学高三上学期第一次月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知函数(其中A>0,)的图象如图所示.
(1)求A,w及j的值;
(2)若,求的值.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省成都市高三上学期九月诊断性考试理科数学卷 题型:解答题
(本题满分12分)
已知函数其中a>0,e为自然对数的底数。
(I)求
(II)求的单调区间;
(III)求函数在区间[0,1]上的最大值。
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