Question

已知椭圆C：

x2

2

+y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF₂为直径的圆．
（Ⅰ）当⊙M的面积为

π

8

时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M与直线AF₁相切时，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆方程求得焦点，顶点的坐标，设出点P的坐标，进而表示出|PF₂|的长度进而根据圆M的面积求得x₁，求得P的坐标，则PA所在的直线方程可得．
（Ⅱ）根据点M到直线AF₁的距离求得x₁和y₁的关系式，进而与椭圆方程联立求得x₁，进而求得M的坐标则圆的方程可得．
（Ⅲ）首先表示出OM的长度，以及圆M的半径，进而求得OM=r₁-r₂，推断出⊙M和以原点为圆心，半径为r₁=

2

（长半轴）的圆相内切．

解答：解：（Ⅰ）易得F₁（-1，0），F₂（1，0），A（0，-1），设点P（x₁，y₁），
则PF22=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-

x12

2

=

1

2

(x1-2)2，
所以PF2=

2

-

2

2

x1
又⊙M的面积为

π

8

，∴

π

8

=

π

8

(x1-2)2，
解得x₁=1，∴P(1，

2

2

)或(1，-

2

2

)，
∴PA所在直线方程为y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1
（Ⅱ）因为直线AF₁的方程为x+y+1=0，且M(

x1+1

2

，

y1

2

)到直线AF₁的距离为

| x1+1 2 + y1 2 +1|

2

=

2

2

-

2

4

x1
化简得y₁=-1-2x₁，联立方程组

y1=-1-2x1 x12 2 +y12=1

，
解得x₁=0或x1=-

8

9

∴当x₁=0时，可得M(

1

2

，-

1

2

)，
∴⊙M的方程为(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

；
当x1=-

8

9

时，可得M(

1

18

，

7

18

)，
∴⊙M的方程为(x-

1

18

)2+(y-

7

18

)2=

169

162

（Ⅲ）⊙M始终和以原点为圆心，半径为r₁=

2

（长半轴）的圆（记作⊙O）相切
证明：因为OM=

(x1+1)2 4 + y12 4

=

(x1+1)2 4 + 1 4 - x12 8

=

2

2

+

2

4

x1，
又⊙M的半径r₂=MF₂=

2

2

-

2

4

x1，
∴OM=r₁-r₂，∴⊙M和⊙O相内切．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．