Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）若过定点（-2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）当直线l的斜率不存在时，直线x=-2与⊙C相切，因此直线x=-2是圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+2），则圆心C到切线l的距离d=r．利用点到直线的距离公式得出k即可；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l方程为y=

3

3

（x+1），与圆的方程联立化为关于x的一元二次方程的根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得出．

解答： 解：（I）圆C：（x-1）²+（y+2）²=9．得到圆心C（1，-2），半径r=3．
当直线l的斜率不存在时，直线x=-2与⊙C相切，因此直线x=-2是圆的一条切线；
当直线l的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+2），则圆心C到切线l的距离d=r．
∴

|k+2+2k

1+k2

=3，解得k=

5

12

．
∴切线l的方程为y=

5

12

（x+2），即5x-12y+10=0．
综上可知：切线l的方程为x=-2或5x-12y+10=0．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l方程为y=

3

3

（x+1）．
代入圆方程可化为4x²+（4

3

-4）x+4

3

-11=0，
∴x₁+x₂=1-

3

，
∴x_P=

x1+x2

2

=

1- 3

2

，y_P=

3

3

（

1- 3

2

+1）=

3 -1

2

．
∴P（

1- 3

2

，

3 -1

2

）．

点评：本题综合考查了直线与圆的位置关系转化为方程联立得到△与0的关系、根与系数的关系、圆的切线的性质、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．