Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N^*），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测出{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求的值．

Answer 1

解：（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，即a₄²-8a₄-9=0．解得a₄=9或a₄=-1（舍）．
由a₄=9，得a₃²-6a₃-7=0．
解得a₃=7或a₃=-1（舍）．
同理可求出a₂=5，a₁=3．
由此推测a_n的一个通项公式a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），可知数列{b_n}是等差数列．
S_n===-n²+9n．
当n≤5时，S_n′=S_n=-n²+9n；
当n＞5时，S_n′=-S_n+2S₅=-S_n+40=n²-9n+40．
当n≤5时，=1；
当n＞5时，=．
∴==-1．
分析：（1）由题意通过a₅=11，求出a₄，a₃，a₂，a₁的值，由此推测a_n的一个通项公式．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），当n≤5时，S_n′；当n＞5时，S_n′；然后求出，再求出的值．
点评：本题是中档题，考查数列的极限的求法，数列通项公式的求法，分类讨论的思想，考查计算能力．