Question

椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，过右焦点F且斜率为k（k＞O）的直线与椭圆交于A，B两点，若

AF

=3

FB

，则k=（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：由椭圆的标准方程即可得到椭圆的右焦点F(2

3

，0)，过右焦点F且斜率为k（k＞O）的直线为my=x-2

3

，其中m=

1

k

．与椭圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及若

AF

=3

FB

，即可得到m，进而得到k．

解答：解：∵c²=a²-b²=16-4=12，∴c=2

3

．
∴椭圆的右焦点F(2

3

，0)．
∴过右焦点F且斜率为k（k＞O）的直线为my=x-2

3

，其中m=

1

k

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

my=x-2 3 x2 16 + y2 4 =1

消去x得到(4+m2)y2+4

3

my-4=0．
∴y1+y2=

-4 3

4+m2

，y1y2=

-4

4+m2

．
∵

AF

=3

FB

，∴-y₁=3y₂，
把以上三式联立消去y₁，y₂，得到m2=

1

2

，∴(

1

k

)2=

1

2

，即k²=2．
又∵k＞0，∴k=

2

．
故选B．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．