Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，

PE

=λ

PC

，若DE∥面PAB，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC²=DB²+DC²，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则

DB

就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．
（3）先求出向量

PC

，

PE

，

DE

，

AB

，

PA

，设

n

=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据

AB

•

n

=0，

PA

•

n

=0，求出

n

，再根据DE∥面PAB，则

DE

•

n

=0求出λ即可．

解答：解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=

3

，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2

3

，（3分）
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC（5分）

（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，（6分）
由（1）知BD⊥面PDC，∴

DB

就是面PDC的法向量，（7分）
A（1，0，0），B（1，

3

，0），P（0，0，a）

AB

=（0，

3

，0），

DB

=（1，

3

，0），（8分）
设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ=

3

2 3

=

3

2

，（9分）
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°（10分）
（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，

3

，0），P（0，0，a）C、（-3，

3

，0），（11分）

PC

=（-3，

3

，-a），

PE

=（-3λ，

3

λ，-aλ），

DE

=

DP

+

PE

=（0，0，a）+（-3λ，

3

λ，-aλ）=（-3λ，

3

λ，a-aλ）（12分）

AB

=（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-a），
设

n

=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由

AB

•

n

=0，
得y=0，由

PA

•

n

=0，得x-az=0，取x=a，z=1，

n

=（a，0，1），（14分）
由D、E∥面PAB得：

DE

⊥

n

，∴

DE

•

n

=0，-3aλ+a-aλ=0，∴λ=

1

4

（15分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面所成角和与二面角有关的立体几何综合题，属于中档题．