Question

15．设P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点，F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为左、右焦点，△PF₁F₂周长为6c，面积$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²，则双曲线的离心率是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 不妨设P在右支上，由双曲线的定义可得PF₁-PF₂=2a，再由条件分别求得△PF₁F₂三边长，运用三角形的海伦面积公式，结合离心率公式，解方程即可得到所求值

解答 解：不妨设P在右支上，则PF₁-PF₂=2a，
又PF₁+PF₂+F₁F₂=6c，即PF₁+PF₂=4c，
解得PF₁=a+2c，PF₂=2c-a，
由海伦面积公式可得，△PF₁F₂的面积为
S_△=$\sqrt{3c（3c-2c）（3c-a-2c）（3c-2c+a）}$=$\sqrt{3{c}^{2}（{c}^{2}-{a}^{2}）}$，
由题意可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²=$\sqrt{3{c}^{2}（{c}^{2}-{a}^{2}）}$，
两边平方可得，9c⁴-9a²c²-4a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得，9e⁴-9e²-4=0，
解得e²=$\frac{4}{3}$，即有e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查三角形的面积公式的运用，属于中档题．