Question

（2011•南充模拟）当x∈[-2，2]时，不等式p²+px+1＞2p+x恒成立，则实数p的取值范围是

（-∞，-1）∪（3，+∞）

．

Answer 1

分析：先将原不等式移项得到p²+px+1-2p-x＞0，整理得（p-1）x+（p-1）^2_＞0，将不等式的左边看作关于x的一次函数，只需f（x）＞0在[-2，2]上恒成立，然后根据x∈[-2，2]可得函数的端点的纵坐标都是正数，从而可得出f（-2）＞0，f（2）＞0，解出p即可．

解答：解：将原不等式p²+px+1＞2p+x移项得p²+px+1-2p-x＞0，左端看作x的一次函数，f（x）=（p-1）x+（p-1）²，
由已知可知只需f（x）＞0在[-2，2]上恒成立，
由一次函数的单调性，只需
 

f(-2)=(p-1)(p-3)＞0 f(2)=(p-1)(p+1)＞0

即可．
∴

p＜1或p＞3 p＜-1或p＞1

，
解得：p＜-1或p＞3．
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）

点评：本题主要考查了不等式恒成立问题，在解答本题时运用了函数思想，函数思想是数学求解中常用的一种方法，属于基础题．