Question

已知双曲=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．
解答：∵双曲线的方程为-=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由得：7x²+90x-369=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程7x²+90x-369=0的两根，
∴x₁+x₂=-，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-，
∴线段PQ的中点N（-，-），
∴PQ的垂直平分线方程为y+=-（x+），
令y=0得：x=-．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+=．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：==e==，
∴|PF|=x₁-×=x₁-3，
同理可得|QF|=3-x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-x₂-（x₁-3）
=6-（x₁+x₂）
=6-×（-）
=．②
∴==．
故选B．
点评：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．