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已知双曲数学公式=1,过其右焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则数学公式的值为


  1. A.
    数学公式
  2. B.
    数学公式
  3. C.
    数学公式
  4. D.
    数学公式
B
分析:依题意,不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1,利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|,继而可求得PQ的垂直平分线方程,令x=0可求得点M的横坐标,从而使问题解决.
解答:∵双曲线的方程为-=1,
∴其右焦点F(5,0),不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1,
依题意,直线PQ的方程为:y=x-5.
得:7x2+90x-369=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2为方程7x2+90x-369=0的两根,
∴x1+x2=-,y1+y2=(x1-5)+(x2-5)=x1+x2-10=-
∴线段PQ的中点N(-,-),
∴PQ的垂直平分线方程为y+=-(x+),
令y=0得:x=-.又右焦点F(5,0),
∴|MF|=5+=.①
设点P在其准线上的射影为P′,点Q在其准线上的射影为Q′,
∵双曲线的一条渐近线为y=x,其斜率k=,直线PQ的方程为:y=x-5,其斜率k′=1,
∵k′<k,
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上,另一个在右支上,不妨设点P在左支,点Q在右支,
则由双曲线的第二定义得:==e==
∴|PF|=x1-×=x1-3,
同理可得|QF|=3-x2
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-x2-(x1-3)
=6-(x1+x2
=6-×(-
=.②
==
故选B.
点评:本题考查双曲线的第二定义的应用,考查直线与圆锥曲线的相交问题,考查韦达定理的应用与直线方程的求法,综合性强,难度大,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲
x2
9
-
y2
16
=1,过其右焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则
|MF|
|PQ|
的值为(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知双曲
x2
9
-
y2
16
=1,过其右焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则
|MF|
|PQ|
的值为(  )
A.
5
3
B.
5
6
C.
5
4
D.
5
8

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南省安阳二中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知双曲=1,过其右焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则的值为( )
A.
B.
C.
D.

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