Question

1．现有如下四个命题：
①若动点P与定点A（-4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值$\frac{4}{9}$，则动点P的轨迹为双曲线的一部分
②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）²-（m-n）²，若x≥0，则动点$P（x，\sqrt{x*a}）$的轨迹是抛物线的一部分
③已知两圆A：（x+1）²+y²=1、圆B：（x-1）²+y²=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
④已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
上述四个命题中真命题为①②③．（请写出其序号）

Answer 1

分析 利用直译法，求①选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹；
利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可．

解答 解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k₁=$\frac{y}{x+4}$，k₂=$\frac{y}{x-4}$，∴$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}=\frac{4}{9}$，化简得9y²=4x²-64，即$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{9{y}^{2}}{64}=1$（x≠±4），
∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，①正确；
∵m*n=（m+n）²-（m-n）²，∴$\sqrt{x*a}$=2$\sqrt{ax}$，设P（x，y），则y=2$\sqrt{ax}$，即y²=4ax（x≥0，y≥0），即动点$P（x，\sqrt{x*a}）$的轨迹是抛物线的一部分，②正确；
由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切
∴MA=r+1，MB=5-r
∴MA+MB=6＞AB=2
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，③正确；
设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y），
∵椭圆过A、B两点，则 CA+DA=CB+DB，
∴15+DA=13+DB，∴DB-DA=2＜AB，
∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，④错误
故答案为：①②③．

点评 本题综合考查了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考查了圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，有一定难度．