Question

12．均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 x+3y=4xy，x＞0，y＞0，可得$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：x+3y=4xy，x＞0，y＞0，∴$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=4．
则x+y=$\frac{1}{4}$$（\frac{3}{x}+\frac{1}{y}）$（x+y）=$\frac{1}{4}（4+\frac{3y}{x}+\frac{x}{y}）$≥$\frac{1}{4}（4+2\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{x}{y}}）$=$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$，当且仅当x=$\sqrt{3}$y=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$时取等号．
故答案为：$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与就你死了，属于基础题．