Question

18．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
（2）若a，b，c成等比数列，且角A，B，C成等差数列，求证△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）a，b，c成等比数列，可得b²=ac．由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，利用基本不等式，即可求cosB的最小值．
（2）确定$∠B=\frac{π}{3}，cosB=\frac{1}{2}$，利用余弦定理可得a=c，从而可得△ABC为等边三角形．

解答 （1）解：∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为$\frac{1}{2}$．---------------------------------------------------------（6分）
（2）证明：∵角A，B，C成等差数列，2B=A+C，A+B+C=π
∴$∠B=\frac{π}{3}，cosB=\frac{1}{2}$．--------------------------------------------------------（8分）
∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
又b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
∴a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0．∴a=c，即A=B，
∴$A=B=C=\frac{π}{3}$
∴△ABC为等边三角形．--------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．