Question

6．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=-f（2a-x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=$\sqrt{x}$；②f（x）=e^x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数．

解答 解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=-f（2a-x）知，
函数f（x）的图象关于（a，0）对称，
①函数的定义域为[0，+∞），函数为增函数，则函数不存在对称中心，所以①不是准奇函数．
②若f（x）=-f（2a-x），则e^x=-e^（2a-x），
∵e^x＞0，-e^（2a-x）＜0，∴e^x=-e^（2a-x），无解所以②不是准奇函数
③f（x）=cos（x+1）存在对称中心，所以③是准奇函数
④f（x）=tanx存在对称中心，则④为准奇函数，
故选：D．

点评 本题考查新定义的理解和应用，根据条件得到函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数是关键．