Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． a_n=$\frac{1}{n+1}$
• B． a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{n-1}{{n}^{2}+n+2}$
• C． a_n=$\frac{n+1}{n+2}$
• D． a_n=$\frac{n}{n+1}$

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$（n∈N^*），可得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$（n∈N^*），∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$…+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{2}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．（n=1时也成立）．
故选：D．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推关系，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．