Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$\frac{sinA}{sinB}$=-$\frac{sinC}{tanC}$．
（1）求$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$的值；
（2）若c=4，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求边a，b．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和余弦定理将角化边，得出a，b，c的关系整理即可；
（2）用a，b表示出sinC，根据面积列方程，结合（1）的结论，联立方程组解出a，b．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinA}{sinB}=-\frac{sinC}{tanC}=-cosC$，
∴$\frac{a}{b}=-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即3a²+b²=c²．
∴$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=1．
（2）∵cosc=-$\frac{sinA}{sinB}$=-$\frac{a}{b}$，
∴sinC=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{b}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}$a$\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴a²（b²-a²）=12．
又$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=1，c=4，∴b²=16-3a²．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}（{b}^{2}-{a}^{2}）=12}\\{{b}^{2}=16-3{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，解三角形，利用正余弦定理边角互化是解此类问题的思路．