Question

19．已知平面四点A，B，C，D满足AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，设△ABD，△BCD的面积分别为 S₁，S₂，则S₁²+S₂²的取值范围是（　　）

• A． $（{8\sqrt{3}-12，14}]$
• B． $（{8\sqrt{3}-12，8\sqrt{3}}]$
• C． （12，14]
• D． （12，28]

Answer 1

分析 在三角形ABD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD²，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式，利用三角形面积公式变形进而表示出S₁²+S₂²，得到关于cosC的二次函数，由$2\sqrt{3}-2＜BD＜4$可求cosC的范围，利用二次函数性质即可求出S₁²+S₂²的取值范围．

解答 解：因为：AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
在△ABD中，$B{D^2}=A{B^2}+A{D^2}-2AB•AD•cosA=16-8\sqrt{3}cosA$，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=8-8cosC，
所以：$\sqrt{3}cosA-cosC=1$，
所以：$S_1^2=\frac{1}{4}A{B^2}A{D^2}si{n^2}A=12-12{cos^2}A，S_2^2=\frac{1}{4}B{C^2}C{D^2}si{n^2}C=4-4{cos^2}C$，
所以：$S_1^2+S_2^2=12-12{cos^2}A+4-4{cos^2}C=16-4{（{cosC+1}）^2}-4{cos^2}C=-8{cos^2}C-8cosC+12$，
因为：$2\sqrt{3}-2＜BD＜4$，
所以：$8-8cosC=B{D^2}∈（{16-8\sqrt{3}，16}）$，
解得：$-1＜cosC＜\sqrt{3}-1$，
所以：$S_1^2+S_2^2=-8{cos^2}C-8cosC+12∈（{8\sqrt{3}-12，14}]$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及二次函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．