Question

9．已知f（x）=2sin2xcosφ+2cos2xsinφ+m（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），且f（x）的图象上的一个最低点为M（$\frac{2}{3}π$，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（$\frac{α}{2}}$）=$\frac{1}{3}$，α∈[0，π]，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）先利用条件求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，利用同角三角的基本关系求得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，再根据 cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin2xcosφ+2cos2xsinφ+m=2sin（2x+φ）+m，
f（x）的图象上的一个最低点为M（$\frac{2}{3}π$，-1），∴-2+m=-1，∴m=1，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
再根据五点法作图可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）∵f（$\frac{α}{2}}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{1}{3}$，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
∵α∈[0，π]，∴α+$\frac{π}{6}$ 为第三象限角，∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$=-$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．