Question

14．已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

Answer 1

分析 （I）连结BD，B₁D₁，取AD的中点G，连结BG，计算BD，AB，利用勾股定理的逆定理得出AB⊥BD，由B₁B⊥平面ABCD，得出AB⊥B₁B，故而AB⊥平面BDD₁B₁，于是AB⊥BF，又AB∥A₁B₁，所以BF⊥A₁B₁；
（II）连结FG，则可证四边形BEFG是平行四边形，于是BE∥FG∥AD₁，又EF∥C₁D₁，故而面BEF∥面AD₁C₁．

解答 证明：（I）连结BD，B₁D₁，取AD的中点G，连结BG，
∵AD∥BC，BC⊥CD，AD=2，BC=1，
∴四边形BCDG是正方形，AG=BG=1，
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴B₁B⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，
∴B₁B⊥AB，又BD?平面BDD₁B₁，B₁B?平面BDD₁B₁，BD∩B₁B=B，
∴AB⊥平面BDD₁B₁，∵BF?平面BDD₁B₁，
∴AB⊥BF，
又AB∥A₁B₁，
∴BF⊥A₁B₁．
（II）连结FG，
∵E，F为CC₁，DD₁的中点，
∴C₁D₁$\stackrel{∥}{=}$CD$\stackrel{∥}{=}$EF，又GB$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴GB$\stackrel{∥}{=}$EF，∴四边形EFGB是平行四边形，
∴BE∥FG．
∵F，G分别是DD₁，AD的中点，
∴FG∥AD₁，
∴BE∥AD₁，
又BE?平面BEF，FE?平面BEF，BE∩EF=E，AD₁?平面AC₁D₁，C₁D₁?平面AC₁D₁，AD₁∩C₁D₁=D₁，
∴面BEF∥面AD₁C₁．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面平行的判定，属于中档题．