Question

5．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x-3）=f（x+3）与f（3-x）=f（3+x），x∈[-3，0]时．f（x）=2^-x-2，方程f（x）-2log₃（2x+3）=0在区间（0，2016）内解的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 将x换为x+3，可得f（x+6）=f（x），则f（x）为最小正周期为6的函数，由f（3-x）=f（x-3），将x换为3-x，可得f（x）=f（-x），即f（x）为偶函数，作出函数y=2log₃（2x+3）和f（x）在（0，2016）的图象，由2log₃33＞f（15），可得方程在区间（0，2016）内解的个数．

解答 解：由f（x-3）=f（x+3），
将x换为x+3，
可得f（x+6）=f（x），
则f（x）为最小正周期为6的函数，
又f（3-x）=f（3+x），可得
f（3-x）=f（x-3），
将x换为3-x，可得f（x）=f（-x），
即f（x）为偶函数，
由x∈[-3，0]时．f（x）=2^-x-2，
可得x∈[0，3]时．f（x）=2^x-2，
由f（x）在[-3，0]递减，可得f（x）≤f（-3）=6，
画出函数y=2log₃（2x+3）的图象，可得函数y在（0，2016）递增，
运用周期函数的图象画法，可得f（x）在（0，2016）的图象，
由f（15）=f（15-12）=f（3）=f（-3）=6，
而2log₃33＞6，可得方程f（x）-2log₃（2x+3）=0
在区间（0，2016）内解的个数是4．
故选：A．

点评 本题考查方程的解的个数的解法，注意运用函数的图象的交点个数，同时考查函数的周期性和奇偶性、对称性的运用，考查化简整理的运算能力和数形结合的能力，属于中档题．