Question

19．过点P（-1，0）作曲线f（x）=e^x的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）若函数g（x）=f（x）-ax-1有唯一零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设切点为（m，e^m），求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，可得m=0，运用斜截式方程即可得到所求切线的方程；
（2）由g（0）=0，可得x=0为g（x）的零点，由题意g（x）有唯一的零点，可得函数g（x）为单调函数，求出g（x）的导数，运用指数函数的单调性，可得g（x）为增函数，即可得到a的范围．

解答 解：（1）设切点为（m，e^m），
f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
可得切线的斜率为e^m，又切线过点（-1，0），
可得$\frac{{e}^{m}-0}{m+1}$=e^m，解得m=0，
即有切点为（0，1），
可得切线的方程为y=x+1；
（2）函数g（x）=f（x）-ax-1=e^x-ax-1，
由g（0）=0，可得x=0为g（x）的零点，
由题意g（x）有唯一的零点，可得函数g（x）为单调函数，
g′（x）=e^x-a，由e^x＞0，
可得a≤0时，g′（x）＞0，g（x）递增．
则a的范围是（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意设出切点，考查函数的零点的问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．