Question

4．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂₂-3a₇=2，且$\frac{1}{a_2}$，$\sqrt{{S_2}-3}$，S₃成等比数列，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若对于任意的n∈N^*，都有8T_n＜2λ²+5λ成立，求实
数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d
由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{22}}-3{a_7}=2}\\{{{（\sqrt{{S_2}-3}）}^2}=\frac{1}{a_2}•{S_3}}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{（{a_1}+21d）-3（{a_1}+6d）=2}\\{（2{a_1}+d-3）•（{a_1}+d）=3{a_1}+3d}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{-2{a_1}+3d=2}\\{（{a_1}+d）（2{a_1}+d-6）=0}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=2}\end{array}}\right.$，或 $\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=-\frac{2}{5}}\\{d=\frac{2}{5}}\end{array}}\right.$，
当${a_1}=-\frac{2}{5}$，$d=\frac{2}{5}$时，$\sqrt{{S_2}-3}=\sqrt{-\frac{17}{5}}$没有意义，
∴a₁=2，d=2，此时a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{2n（n+2）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{4}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$$+…+\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴$8{T_n}=3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）＜3$，
为满足题意，必须2λ²+5λ≥3，∴$λ≥\frac{1}{2}$或λ≤-3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．