Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，cosC），$\overrightarrow{n}$=（4a-b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求cosC的值；
（2）若c=$\sqrt{3}$，△ABC的面积S=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA-sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．
（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$可解得ab=2，结合余弦定理可求a²+b²=4，从而解得a，b的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵m∥n，
∴ccosB=（4a-b）cosC，…（2分）
由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA-sinB）cosC，
化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…（4分）
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）﹒
又∵A∈（0，π），
∵sinA＞0，
∴$cosC=\frac{1}{4}$． …（6分）
（2）∵C∈（0，π），$cosC=\frac{1}{4}$，
∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
∵$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴ab=2﹒①…（9分）
∵$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得$3={a^2}+{b^2}-\frac{1}{2}ab$，
∴a²+b²=4，②…（12分）
由①②，得a⁴-4a²+4=0，从而a²=2，$a=±\sqrt{2}$（舍负），
∴$b=\sqrt{2}$，
∴$a=b=\sqrt{2}$．   …（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，三角函数和的变换的应用，考查了化归和转化思想，属于中档题．