Question

5．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB=b（1+cosA），且△ABC的面积S=2，则（c+a-b）（c+b-a）的取值范围是（　　）

• A． （8$\sqrt{2}$-8，8）
• B． （$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，8）
• C． （8$\sqrt{2}$-8，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）
• D． （8，8$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由题意利用正弦定理求得sin（A-B）=sinB，可得A=2B＜$\frac{π}{2}$，B∈（0，$\frac{π}{4}$），再根据A+B=3B∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），可得C的范围，进而得到$\frac{C}{2}$的范围．把要求的式子利用余弦定理、二倍角公式化为8tan$\frac{C}{2}$，从而求得它的范围．

解答 解：在锐角△ABC中，∵a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB=b（1+cosA），
∴sinAcosB=sinB+sinBcosA，sin（A-B）=sinB，
∴A-B=B，即A=2B＜$\frac{π}{2}$，∴B∈（0，$\frac{π}{4}$），∴A+B=3B∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），故C∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{C}{2}$∈（$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$），
∴tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{C}{2}}$＞1，求得1＞tan$\frac{C}{2}$＞-1+$\sqrt{2}$．
∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2，∴ab=$\frac{4}{sinC}$，
则（c+a-b）（c+b-a）=c²-（a-b）²=c²-a²-b²+2ab=-2ab•cosC+2ab=2ab（1-cosC）=$\frac{8}{sinC}$（1-cosC）
=8$\frac{1-（1-{2sin}^{2}\frac{C}{2}）}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=8tan$\frac{C}{2}$∈（8$\sqrt{2}$-8，8），
故选：A．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和公式，二倍角公式的应用，属于中档题．