Question

19．公差不为0的等差数列{a_n}的部分项a_n1，a${\;}_{{n}_{2}}$，a${\;}_{{n}_{3}}$，…构成等比数列{a${\;}_{{n}_{k}}$}，且n₂=2，n₃=6，n₄=22，则下列项中是数列{a${\;}_{{n}_{k}}$}中的项是（　　）

• A． a₄₆
• B． a₈₉
• C． a₃₄₂
• D． a₃₈₇

Answer 1

分析 由题意a₂，a₆，a₂₂成等比数列，求出等比数列的公比q，
写出等比数列{${a}_{{n}_{k}}$}的通项公式，再验证选项是否正确即可．

解答 解：根据题意，等差数列{a_n}中，a₂，a₆，a₂₂构成等比数列，
∴（a₁+5d）²=（a₁+d）（a₁+21d），且d≠0，
解得d=3a₁，
∴等比数列的公比为q=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}+5×{3a}_{1}}{{a}_{1}+{3a}_{1}}$=4；
又等差数列{a_n}的通项公式为
a_n=a₁+（n-1）×3a₁=3a₁n-2a₁=（3n-2）a₁，
∴等比数列{${a}_{{n}_{k}}$}的通项公式为${a}_{{n}_{k}}$=a₁•4^n-1，
且a₄₆=a₁+45d=136a₁，
a₈₉=a₁+88d=265a₁，
a₃₄₂=a₁+341d=1024a₁=a₁•4⁵，
a₃₈₇=a₁+386d=1159a₁，
∴a₃₄₂是数列{a${\;}_{{n}_{k}}$}中的项．
故选：C．

点评 本题考查了数列中某一项的判断问题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列性质的合理运用．