Question

13．设函数f（x）=ae^x+b，g（x）=x²+cx+d，若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，$\frac{1}{e}$），且在点P处有相同的切线y=$\frac{1}{e}$x+$\frac{1}{e}$．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若函数h（x）=f（-|x|+1）-g（x+t）（t＞0）存在零点，求证：0＜t≤1．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=g（0）=$\frac{1}{e}$，f′（0）=g′（0）=a=c=$\frac{1}{e}$，即可解得a，b，c，d的值；
（2）由函数h（x）存在零点，可得y=e^-|x|和y=（x+t+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$的图象有交点，作出y=e^-|x|和y=（x+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$的图象，由图象平移和相切的性质，设出切点（m，e^m），（m＜0），求得导数，可得m，t的方程，解得m=-1，t=1，即可得到t的范围．

解答 解：（1）由题意可得f（0）=g（0）=$\frac{1}{e}$，即为a+b=d=$\frac{1}{e}$，
又f（x）的导数为f′（x）=ae^x，g（x）的导数为g′（x）=2x+c，
由题意可得f′（0）=g′（0）=a=c=$\frac{1}{e}$，
综上可得，a=$\frac{1}{e}$，b=0，c=$\frac{1}{e}$，d=$\frac{1}{e}$；
（2）证明：函数h（x）=f（-|x|+1）-g（x+t）
=e^1-|x|-1-[（x+t）²+$\frac{1}{e}$（x+t）+$\frac{1}{e}$]=e^-|x|-[（x+t+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$]，
由函数h（x）存在零点，
可得y=e^-|x|和y=（x+t+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$的图象有交点，
作出y=e^-|x|和y=（x+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$的图象，
由t＞0可得将抛物线的图象向左平移可得y=（x+t+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$的图象，
当图象经过点（0，1）时，1=（t+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$，解得t=1-$\frac{1}{e}$，
当抛物线的图象与y=e^-|x|的图象相切时，设切点为（m，e^m），（m＜0），
由切线的斜率相等，可得e^m=2（m+t+$\frac{1}{2e}$），
且e^m=（m+t+$\frac{1}{2e}$）²+$\frac{4e-1}{4{e}^{2}}$，解得m=-1，t=1，
则t的范围是0＜t≤1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查函数的零点问题的解法，注意运用图象转化为求交点问题，考查化简整理的运算能力，属于中档题．