Question

3．已知（2+x²）${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展开式中含x⁴项的系数为45，则正实数a的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1．

Answer 1

分析 根据${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展开式的通项公式求出展开式中含x⁴与x²，从而求出（2+x²）${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展开式中含x⁴项的系数，列出方程求出正实数a的值．

解答 解：∵${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（ax）^6-r•${（\frac{1}{a}）}^{r}$=${C}_{6}^{r}$•a^6-2r•x^6-r，
令6-r=4，得r=2，
∴T₂₊₁=${C}_{6}^{2}$•a²•x⁴=15a²x⁴；
令6-r=2，得r=4，
∴T₄₊₁=${C}_{6}^{4}$•a^-2•x²=15a^-2x²；
∴（2+x²）${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展开式中含x⁴项的系数为
2×15a²+15a^-2=45，
整理得2a⁴-3a²+1=0，
解得a²=1或a²=$\frac{1}{2}$，
∴正实数a=1或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1．

点评 本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目．