Question

2．在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥CD；
（Ⅱ）求证：平面AOF⊥平面ACE；
（Ⅲ）侧棱AC上是否存在点P，使得BP∥平面AOF？若存在，求出$\frac{AP}{PC}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由等边三角形知识得AO⊥BE，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面BCDE，故而AO⊥CD；
（II）连结BD，由菱形性质得出CE⊥BD，又AO⊥平面BCDE，故AO⊥CE，由中位线性质得BD∥EF，故而CE⊥平面AOF，所以平面AOF⊥平面ACE；
（III）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．则当平面BPM∥平面AOF时，BP∥平面AOF，故只需$\frac{AP}{PC}=\frac{NM}{MC}$即可．

解答 证明：（Ⅰ）因为△ABE 为等边三角形，O 为BE 的中点，
所以AO⊥BE．又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AO?平面ABE，
所以AO⊥平面BCDE．又因为CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD．
（Ⅱ）连结BD，因为四边形BCDE 为菱形，
所以CE⊥BD．
因为O，F 分别为BE，DE 的中点，
所以OF∥BD，所以CE⊥OF．
由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．
因为CE?平面BCDE，所以AO⊥CE．
因为AO∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．
又因为CE?平面ACE，
所以平面AOF⊥平面ACE．
（Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，BP∥平面AOF．
证明如下：
设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．
因为四边形BCDE 为菱形，O，F 分别为BE，DE 的中点，
所以$\frac{NM}{MC}=\frac{1}{2}$．
设P为AC上靠近A点的三等分点，
则$\frac{AP}{PC}=\frac{NM}{MC}=\frac{1}{2}$，所以PM∥AN．
因为AN?平面AOF，PM?平面AOF，所以PM∥平面AOF．
由于BD∥OF，OF?平面AOF，BD?平面AOF，
所以BD∥平面AOF，即BM∥平面AOF．
因为BM∩PM=M，
所以平面BMP∥平面AOF．
因为BP?平面BMP，所以BP∥平面AOF．
∴侧棱AC 上存在点P，使得BP∥平面AOF，且$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．