Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a，b；
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，证明：当n≥2时，2S_n＞T_n+3n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）和S_n=2a_n-2可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2（n≥2），即数列{a_n}为等比数列，再求出首项，利用等比数列的通项公式写出a_n即可；由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上可得b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}为等差数列，求出b₁，利用等差数列的通项公式即可得到b_n；
（2）由（1）利用等比数列和等差数列的前n项和公式求出S_n，T_n，代入2S_n＞T_n+3n，即证不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立，然后采用数学归纳法证明．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
∵a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2（n≥2），即数列{a_n}为等比数列，
∵a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
∵b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）证明：由（1）得${S}_{n}=\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$，
${T}_{n}=\frac{（1+2n-1）n}{2}={n}^{2}$，
∴证明：当n≥2时，2S_n＞T_n+3n，
即证明不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=2时，2ⁿ⁺²=16，n²+3n+4=14，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即2^k+2＞k²+3k+4成立，
那么，当n=k+1时，2^k+3=2•2^k+2＞2k²+6k+8．
以下只需证明2k²+6k+8≥（k+1）²+3（k+1）+4成立，
即只需证明k²+k≥0成立，
∵k≥2，
∴k²+k≥0．
∴当n=k+1时不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立．
综合①②知原不等式成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了利用数学归纳法证明数列不等式，是中档题．