Question

7．已知MN是单位圆O的直径，A、B是圆O上的两点，且∠AOB=120°，若点C在圆内且满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（0＜λ＜1），则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围是[-$\frac{3}{4}$，0）．

Answer 1

分析 根据题意可知C在线段AB上，从而得出|$\overrightarrow{OC}$|的范围，用$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$，代入数量积公式得出关于|$\overrightarrow{OC}$|的式子，根据|$\overrightarrow{OC}$|的范围得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，∴点C在线段AB上（不含端点），．
∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直线AB的距离d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}≤$|$\overrightarrow{OC}$|＜1．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）$•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∵MN是单位圆O的直径，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-1+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∴-$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$＜0．
故答案为[-$\frac{3}{4}$，0）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量线性运算的性质与几何意义，属于中档题．