Question

16．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{4x-y≥0}\\{3x-2y-6≤0}\\{2x+y-5≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域为Ω，则Ω上的点到点M（2，-6）的最短距离为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{12\sqrt{13}}{13}$
• D． $\frac{28\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 先由线性约束条件画出区域，欲求Ω上的点到点M（2，-6）的最短距离，观察平面区域知，MP两点距离最x小，故只要求出点到直线的距离即得．

解答 解：原不等式组可以化为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{4x-y≥0}\\{3x-2y-6≤0}\\{2x+y-5≤0}\end{array}\right.$，
画出对应的平面区域图形如图所示的阴影部分．
显然在平面区域Ω内的点P与M两点距离最小，就是M到直线3x-2y-6=0的距离最小．
则Ω上的点到点M（2，-6）的最短距离为：d=$\frac{|6+12-6|}{\sqrt{{3}^{2}+{（-2）}^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
故选：C．

点评 本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．