Question

7．设O（0，0），A（5，0），B（0，12）．求△OAB的内切圆的方程和外接圆的方程．

Answer 1

分析 由题意设出内切圆的圆心，再求出过AB的直线方程，由圆心到直线AB的距离等于内切圆半径列式求解；直接由图可得外接圆的圆心坐标，进一步求得外接圆的半径，则外接圆方程可求．

解答 解：如图，
设内切圆的圆心为C₁（a，b），过A，B的直线方程为$\frac{x}{5}+\frac{y}{12}=1$，即12x+5y-60=0，
则a=b，且$\frac{|12a+5a-60|}{\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}}=a$，解得a=15（舍）或a=2．
∴△OAB的内切圆的方程为（x-2）²+（y-2）²=4；
由图可知，OA的垂直平分线方程为x=$\frac{5}{2}$，OB的垂直平分线方程为y=6，
∴△OAB的外接圆的圆心为${C}_{2}（\frac{5}{2}，6）$，半径r=|OC₂|=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{6}^{2}}=\frac{13}{2}$．
∴△OAB的外接圆的方程为$（x-\frac{5}{2}）^{2}+（y-6）^{2}=\frac{169}{4}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．