Question

4．已知f（x）是定义在R上的不恒等于0的偶函数，且对于任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则$f（\frac{9}{2}）$的值为（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法结合函数奇偶性的性质，再由依此求解．

解答 解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），
令x=-$\frac{1}{2}$，得-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$），
即-f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
又∵f（x）为偶函数，
∴f（$\frac{1}{2}$）=0，
则$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$），
所以f（$\frac{3}{2}$）=0，以此类推，可得f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=…=f（$\frac{9}{2}$）=0，
故选：B．

点评 本题考查函数值的计算，以及函数奇偶性的性质的应用，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．