Question

11．若a≥0，b≥0，且当$\left\{\begin{array}{l}{|x|≤1}\\{|y|≤1}\end{array}\right.$时，恒有2ax+by≤1，则点P（a+b，a-b）所形成的平面区域的面积是（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． 2π
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先依据不等式组{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有2ax+by≤1”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．

解答 解：令z=2ax+by，
∵2ax+by≤1恒成立，
即函数z=2ax+by在可行域要求的条件下，z_max=1恒成立．
当直线2ax+by-z=0过点（1，1），有：2a+b≤1．
a≥0，b≥0，设m=a+b，n=a-b，则a=$\frac{m+n}{2}$，b=$\frac{m-n}{2}$，
2a+b≤1．
a≥0，b≥0，
转化为：$\left\{\begin{array}{l}{2•\frac{m+n}{2}+\frac{m-n}{2}≤1}\\{\frac{m+n}{2}≥0}\\{\frac{m-n}{2}≥0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n-2≤0}\\{m+n≥0}\\{m-n≥0}\end{array}\right.$
点P（a+b，a-b）就是P（m，n）形成的图形是图中的三角形MNO的面积：由$\left\{\begin{array}{l}{m-n=0}\\{3m+n-2=0}\end{array}\right.$可得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{2}$，M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{3m+n-2=0}\end{array}\right.$，解得m=1，n=-1，即N（-1，1）
．
∴所求的面积S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．