Question

11．设a∈R，函数f（x）=$\frac{x-a}{（x+a）^{2}}$．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值；
（2）若对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；
（2）对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），即为f（x）在x≠-a不存在最小值，讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x-a}{（x+a）^{2}}$的导数为f′（x）=$\frac{3a-x}{（x+a）^{3}}$，x≠-a，
可得函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为$\frac{3}{{a}^{2}}$，
由题意可得$\frac{3}{{a}^{2}}$=3，解得a=±1；
（2）对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），
即为f（x）在x≠-a不存在最小值，
①a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}$无最小值，显然成立；
②a＞0时，f（x）的导数为f′（x）=$\frac{3a-x}{（x+a）^{2}}$，
可得f（x）在（-∞，-a）递减；在（-a，3a）递增，在（3a，+∞）递减，
即有f（x）在x=3a处取得极大值，
当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x₁＜a，x₂≠-a即可，
当x₁＜-a时，f（x）在（-∞，-a）递减，且x₁＜x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|＜-a，
f（x₁）＞f（x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|），故存在x₂=x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）；
同理当-a＜x₁＜a时，令x₂=x₁-$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）也符合；
则有当a＞0时，f（x₂）＜f（x₁）成立；
③当a＜0时，f（x）在（-∞，3a）递减；在（3a，a）递增，在（-a，+∞）递减，
即有f（x）在x=3a处取得极小值，
当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．
f（x）_min=f（3a），当x₁=3a时，不存在x₂，使得f（x₂）＜f（x₁）．
综上可得，a的范围是[0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查任意和存在性问题的解法，注意运用等价转换思想，考查运算求解能力，属于中档题．