Question

2．已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2），且当x＞1时，f（x）的导数f′（x）＞0，如果x₁+x₂＜2且（x₁-1）（x₂-1）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

• A． 恒小于0
• B． 恒大于0
• C． 可能为0
• D． 可正可负

Answer 1

分析 由f（2-x）=-f（x），知函数f（x）关于点（1，0）对称且f（1）=0，由当x＞1时，f（x）单调递增，知当x＜1时，f（x）单调递增，由此能求推导出f（x₁）+f（x₂）＜0．

解答 解：∵f（-x）=-f（x+2），
∴函数关于点（1，0）对称，
当x＞1时，f（x）的导数f′（x）＞0，常数函数为增函数，
若x₁+x₂＜2，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
不妨设x₁＜1，x₂＞1，则1＜x₂＜2-x₁，
∵当x＞1时，f（x）单调递增，
∴f（x₂）＜f（2-x₁）
∵函数y=f（x）满足f（x）=-f（2-x），
∴f（x₂）＜-f（x₁）
∴f（x₁）+f（x₂）＜0，
故选：A．

点评 本题考查抽象函数的应用，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的合理运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．