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已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,它的外接圆半径为6,角B、C和△ABC的面积s满足条件:s=b2-(c-a)2sinA+sinC=
43

(1)求sinB的值
(2)求△ABC的面积的最大值.
分析:(1)利用余弦定理表示出cosB,再利用三角形面积公式表示出s,代入已知等式中变形,求出sinB的值即可;
(2)利用正弦定理及R的值,表示出a与c,已知第二个等式利用正弦定理化简,求出a+c的值,利用基本不等式求出ac的最大值,即可确定出三角形面积的最大值.
解答:解:(1)∵s=b2-(c-a)2=b2-c2-a2+2ac,且cosB=
a2+c2-b2
2ac

∴b2-c2-a2=-2accosB,
∴s=2ac(1-cosB),
∵s=
1
2
acsinB,∴
1
2
sinB=2-2cosB,
∴4cosB=4-sinB,
两边平方得16cos2B=16-8sinB+sin2B,即16-16sin2B=16-8sinB+sin2B,
∴sinB=
8
17

(2)由正弦定理得:a=12sinA,c=12sinC,
又sinA+sinnC=
4
3

∴a+c=12×
4
3
=16,又ac≤(
a+c
2
2=64,当且仅当a=c=8取等号,
∴s=
1
2
acsinB=
4
17
ac≤
4
17
×64=
256
17

则△ABC的面积的最大值为
256
17
点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足:a2+c2-b2=ac,且
BA
BC
=4

(Ⅰ)求角B的大小和△ABC的面积;   
(Ⅱ)若a+c=6,求b的值.

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已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,它的外接圆半径为6,角B、C和△ABC的面积s满足条件:s=b2-(c-a)2sinA+sinC=
43

(1)求sinB的值
(2)求a+c的值.

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已知△ABC中三内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=30°,b=1,c=
3
,则△ABC的面积为(  )

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已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
m
=(2a-c,cosC),
n
=(b,cosB)
,且
m
n

(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求
a+c
b
的取值范围.

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