Question

已知对任意实数x，有f（x）+f（-x）=0，g（x）-g（-x）=0，且当x＞0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，则当x＜0时，有（　　）

A．f′（x）＞0，g′（x）＞0

B．f′（x）＞0，g′（x）＜0

C．f′（x）＜0，g′（x）＞0

D．f′（x）＜0，g′（x）＜0

Answer 1

分析：由已知先判断函数的奇偶性及当x＞0时的单调性，根据函数的奇偶性的对称性及单调性，即可得出答案．

解答：解：∵对任意实数x，有f（x）+f（-x）=0，g（x）-g（-x）=0，∴函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．
我们知道：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在x＞0与x＜0时相同；偶函数的图象关于y轴对称，其单调性在x＞0与x＜0时相反；
又∵当x＞0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，g′（x）＞0．
故选C．

点评：正确理解函数的奇偶性和如何利用导数研究函数的单调性是解题的关键．