Question

已知向量，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有，当|x|≥2时，．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为当|x|＜2时，得•=0得到y与x的关系式；当|x|≥2时，时，得到=，联立得到f（x）为分段函数；
（2）要求函数f（x）的单调递减区间即分区间令y'＜0求出x的范围即可；
（3）根据mx²+x-3m≥0解出，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．
解答：解：（1）当|x|＜2时，由得，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
当|x|≥2时，由．得
∴
（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又，
当x≤-2时，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，学会用数量积判断两个向量的垂直关系，理解平行向量及共线向量满足的条件，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．