Question

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的余弦值；
（2）设点P在线段GH上，且

GP

GH

=λ，试确定λ的值，使得C₁P的长度最短．

Answer 1

分析：（1）由题意建立坐标系，求出平面EFH的法向量，利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由题意先求出P点的坐标，再求向量

C1P

的长度的平方，转化为关于λ的一个一元二次函数，当取在对称轴出有最小值．

解答：解：由题意，以D₁为坐标原点，A₁D₁，D₁C₁，DD₁为x，y，z轴建立直角坐标系
，
可得E（2，0，6），F（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）设平面EFH的法向量

n

=（1，x，y），∵

EF

=（-2，2，0），

EH

=（4，6，-2）
∴

-2+2x=0 4+6x-2y=0

，求得

n

=（1，1，5）；
∵

A1H

=（0，6，4），∴cos＜

n

，

A1H

＞=

n • A1H

| n |  | A1H |

=

26

27 52

=

39

9

；
设A₁H 与平面EF所成角θ，则cosθ=

1- 39 81

=

42

9

．（5分）
（2）由题意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0），

GH

=（5，5，-2），
∵

GP

GH

=λ，∴设

GP

=λ

GH

=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
∴

C1P

=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），
∴

C1P

2=（5λ+1）²+（5λ-5）²+（2λ-6）²=54λ²-64λ+58，
当λ=

16

27

时，C₁P的长度取得最小值．（10分）

点评：本题用向量法求线面角的问题及求线段的最小值，只要用了向量的数量积和向量的长度；在求长度时转化到了二次函数求最小值，考查了转化思想和运算能力．