Question

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的正弦值；
（2）设点P在线段GH上，=λ，试确定λ的值，使得二面角P-C₁B₁-A₁的余弦值为．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意建立坐标系，求出平面EFH的法向量，利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由题意先求出P点的坐标，确定面A₁B₁C₁的法向量、面PC₁B₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：解：由题意，以D₁为坐标原点，A₁D₁，D₁C₁，DD₁为x，y，z轴建立直角坐标系，可得E（2，0，6），F（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）设平面EFH的法向量=（1，x，y），
∵=（-2，2，0），=（4，6，-2）
∴由，可得
∴可取=（1，1，5）；
∵=（0，6，4），
∴cos＜＞===
∴求A₁H与平面EFH所成角的正弦值为；
（2）由题意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0），=（5，5，-2），
∵=λ，∴=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
已知面A₁B₁C₁的法向量为=（0，0，6）
设面PC₁B₁的法向量为=（p，q，r），
∵=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），=（6，0，0）
∴
∴可取=（0，2λ-6，5λ-5）
∵二面角P-C₁B₁-A₁的余弦值为，
∴|cos＜＞|=||=||=
∴λ=．
点评：本题用向量法求线面角、面面角的问题，考查学生的计算能力，属于中档题．