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设A是单位圆x2+y2=1上任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。

(2)过原点斜率为K的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的K>0,都有PQ⊥PH?若存在,请说明理由。

【解析】

【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖北)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:高考真题 题型:解答题

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省佛山市顺德区高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2012年湖北省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

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