Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（2）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由导数的求导法则，得到函数f（x）的导函数f′（x）；
（2）由于f′（x）=-3x²+2ax，则x=0，x=4为-3x²+2ax=0的解，得到实数a，又由函数的极小值为-1，可得实数b的值．

解答：解：（1）由于f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
则f′（x）=-3x²+2ax
（2）f′（x）=-3x²+2ax=0
解得x=0或x=

2a

3

．∴

2a

3

=4得a=6．
当x＜0时，f′（x）＜0；当0＜x＜4时，f′（x）＞0．
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，
∴b=-1．

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握函数在某点取得极值的条件．