Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足8Sn=an2+4an+3(n∈N*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据8S_n=a_n²+4a_n+3令n=1可求出首项a₁的值，然后利用递推关系可得8S_n-1=a_n-1²+4a_n-1+3（n≥2），两式相减可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，从而得到数列{a_n}的公差，最后验证讨论首项，验证a₁，a₂，a₇是否成等比数列即可，求出数列{b_n}的通项公式；
（2）满足条件的a存在，a=

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，然后将数列{a_n}及{b_n}的通项公式代入a_n-log_ab_n，使之为常数，可求出a的值．

解答：解：（1）∵8S_n=a_n²+4a_n+3，①
∴8a₁=a₁²+4a₁+3．
解之，得a₁=1，或a₁=3．…（2分）
又8S_n-1=a_n-1²+4a_n-1+3（n≥2），②
由①-②，得 8a_n=（a_n²-a_n-1²）+4（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0．
∵各项均为正数则a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4（n≥2）．…（5分）
当a₁=1时，a₂=5，a₇=25．a₁，a₂，a₇成等比数列，
∴a_n=4n-3，b_n=5^n-1
当a₁=3时，a₂=7，a₇=27，有 不构成等比数列，舍去．
（2）满足条件的a存在，a=

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由（1）知，a_n=4n-3，b_n=5^n-1从而
a_n-log_ab_n=4n-3-log_a5^n-1=（4-log_a5）n-3+log_a5
由题意得4-log_a5=0
∴a=

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点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比数列的性质，是数列与函数的综合题，属于中档题．