Question

（2010•武汉模拟）若椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过左焦点F（-c，0）的直线交椭圆C于P、Q两点，若

FP

=(1，

3

)，且

1

|PF|

+

1

|QF|

=

4

3

．
（1）若

PF

=λ

FQ

，求实数λ值；
（2）求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）先由向量的坐标求出向量

FP

的模，又结合题中条件：

1

| PF |

+

1

| QF |

=

4

3

得到关于λ的等式即可实数λ值；
（2）设直线的方程为y=

3

(x+c)，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用

1

|PF|

+

1

|QF|

=

4

3

即可求得b值，从而解决问题．

解答：解：（1）∵

PF

=λ

FQ

，λ＞0，又

FP

=(1，

3

)有|

FP

|=2
又

1

| PF |

+

1

| QF |

=

4

3

则有

1

2

+

λ

2

=

4

3

，求得λ=

5

3

…（6分）
（2）设过左焦点的直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由椭圆的第二定义可知：|PF|=a+cx1=a+

c

a

(1-c)=2则2a=c+b²
又y=

3

(x+c)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1中得(b2+3a2)x2+6a2cx+a2(3c2-b2)=0
得x1+x2=

-6a2c

b2+3a2

，x1x2=

a2(3c2-b2)

b2+3a2

又

1

|PF|

+

1

|QF|

=

1

a+ex1

+

1

a+ex2

=

2a+e(x1+x2)

a2+ae(x1+x2)+e2x1x2

=

2a+ c a ( -6a2c b2+3a2 )

a2+c( -ba2c b2+3a2 )+c2( 3c2-b2 b2+3a2 )

=

8a(a2-c2)

4(a2-c2)2

=

4

3

，即b2=

3

2

a
又b2=2a-c，从而求得a=2，c=1，b=

3

因此所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（13分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．