Question

设各项为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=1，S₈=17．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在最小正整数m，使得当n＞m时，an＜

2011

15

恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₄=1，S₈=17，得到公比q不等于1，所以根据等比数列的前n项和公式化简两等式，得到关于首项和公比的两方程，两方程相除即可消去首项，求出公比的值，把公比的值代入其中一个方程即可求出首项的值，由首项和公比的值写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式代入an＜

2011

15

中，化简后根据2011的范围把2011夹在2的11次方和2的12次方之间，即可求出不存在n的最小正整数解，使n大于此时的最小正整数时不等式恒成立．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
则

a1(1-q4)

1-q

=1，

a1(1-q8)

1-q

=17，相除得：

1-q8

1-q4

=17，解得q⁴=16，所以q=2或q=-2（舍去），
将q=2代入得a₁=

1

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，则数列{a_n}的通项公式为a_n=

2n-1

15

；
（Ⅱ）由a_n=

2n-1

15

＜

2011

15

，得2^n-1＜2011，
而2¹⁰＜2011＜2¹¹，所以n-1≤10，即n≤11，
因此，不存在最小的正整数，使得n≥m时，a_n＞

2011

15

恒成立．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和公式及通项公式化简求值，掌握不等式恒成立时满足的条件，是一道中档题．